جزوه آموزشی آنالیز حقیقی رشته ریاضی کاربردی

فهرست مطالب :

---

فصل اول: 
مفهوم اندازه پذیری

فصل دوم:
اندازه های بورل مثبت

فصل سوم: 
فضاهای کلاسیک باناخ

فصل هفتم: 
فضاهای متریک

تمرینات

قسمتی از متن جزوه:

---

فصل اول: مفهوم اندازه پذیری 

1.1 اندازهی لبگ روی خط حقیقی 
تعریف 10101 فرض کنیم x یک مجموعهی دلخواه باشد. گردایهی M از زیرمجموعهی x را یک s- جبر در x گوییم هرگاه: 
 X ÎM (a)
آنگاه ، A ÎM اگر (b)
c A ÎM
{ } اگر (c) n n 1 A¥=
n گردایهی شمارایی از عناصر M باشد، آنگاه U ÎM
(اگر به جای گردایهی شمارا در شرط (c) فقط گردایهی متناهی مدنظر باشد، دراینصورت M را جبر در x گوییم.) 
تذکر: (1) 
c
 Æ = – x x x = ÎM
اگر (2) A1 2 n آنگاه ، ,A ,L,A ÎM
ni 1 2 ni 1A A A A=
 U = U ULU U Æ U Æ Î UL M
(3) اگر ( )n آنگاه ، n = Î 1,2, A L M

واضح است که هر s- جبری یک جبر است و نه برعکس. 
تمرین: جبری بسازید که s- جبر نباشد. 
مثالها: 
( ) (a) x .(X در جبر -s بزرگترین) 2 x = P
 .(X در جبر -s کوچکترین) M = Æ {X, } (b)
قضیه 20101 فرض کنیم F گردایهای از زیرمجموعههای X باشد. در اینصورت کوچکترین s- جبر (منحصر بفرد) 
حاوی F وجود دارد.

فصل دوم: اندازههای بورل مثبت
1.2 فضاهای برداری
یک فضای برداری مختلط است که اصطلاحاً عناصر آن را بردار گویند و در آن دو عمل جمع ”+“ و Vمجموعهای مانند یک گروه آبلی بوده و ضرب اسکالر در شرایط زیر صدق میکند. (V,+) ضرب اسکالر ”.“ چنان تعریف شده است که
1x = x
a(bx) = (ab)x
(a + b)x = ax + bx , a(x + y) = ax + ay
.a ,b و هر اسکالر x, yÎV برای هر ¡k کلیه ی فضاهای برداری در این درس روی میدان اعداد مختلط گرفته میشوند، مگر یک استثناء که فضای اقلیدس ییک فضای برداری روی میدان اعداد حقیقی است.
،a ,b هر اسکالر x, yÎV بهطوریکه برای هر L :V®V فضاهای برداری خطی و 1 V و 1 V اگرL(ax + by) = aLx + bLy میگوییم. در حالت خاص، اگر V به توی فضای برداری 1 V را یک تبدیل خطی از فضای برداری L آنگاه را یک تابعک خطی میگوییم. L خطی باشد، آنگاه L :V®£
مثالها:
(a) : اگر m 1 گاه ی دلخواه باشد، آن یک اندازه با ضابطه ی L : L ) 1 m (®£ یک فضای برداری است و L(m)X Lf=òfdm
یک تابعک خطی است.
تابعی محدود و اندازه پذیر باشد، چون g یک اندازه ی دلخواه و m اگر :(b)
g £ M Þ fg £ M f Þ ò fg £ Mò f < ¥ Þ fgÎL1(m)
 

تمرینات
– تمرین 1 s 1: آیا یک جبر -نامتناهی وجود دارد که فقط تعدادی شمارشپذیر عضو داشته باشد؟
جواب منفی است. این مسئله را به دو روش حل میکنیم و در تمام روشها از لم زیر استفاده میکنیم.
، E1,E2,LÎM مجموعه های غیرتهی و جدا از هم باشد که … ، E2,E جبر باشد و 1 -s یک M لم 1: فرض کنیم شمارش ناپذیر است.

برهان: برای هر زیرمجموعه ی I n مجموعه ی ،I Ì N که I M آنگاه ثابت میکنیم
n IB EÎ جدا از BI را تعریف میکنیم، اولاً مجموعه های =U ناشماراست.

و…